Markov恋

走向·Microcosmic Love | Inventiones Lovelogicae

本文纯属虚构。


♥2

严羲何是我深藏心底又不言自明的秘密。

清明假期最后一天,北京时间卯时三刻。我躺在床上迟迟仍然未能入眠,白噪声也无法拯救的心烦意乱,促使我焦急地刷着微信朋友圈。十五分钟后,卯正,终于稍有困意,但手机屏幕上蹦出严羲何的一条最新动态,开头第一句把我整个人敲懵了——Why I choose industry?

他真的决定转行了?

他决定转行了!

他转行了。

我死死的盯着白底蓝字的城堡logo,一句爆粗的话如骨鲠在喉,却怎么也骂不出口。鼻头很酸,眼睛却干涩得再也流不出一滴应景的眼泪,所有憋在胸口的情绪只得化作连连几声急促的咳嗽,动静之大却未能惊醒酣睡中的室友——翟少妍从昨夜八点一直写毕业设计的代码写到凌晨三点,方才堪堪睡下。

我所有的理智都被感性侵略俘虏,颤巍巍地戳开私信小窗,打了很多心里话,最后又委屈巴巴地删掉,只留下一句问他以后是否还考虑回国发展。然后整个人就被彻夜未眠造成的头痛击垮,心律不齐也随之袭来,手和手机一起直勾勾砸到了抱枕上,发出闷响。

乍暖还寒的北京,整栋寝室楼只剩大四的应届毕业生,且多半早已搬离至实习单位附近的租房居住,的确是有些萧瑟。好在以美食闻名全京城的学校食堂从不放假,透过寝室的落地窗可以隐约瞥见东方的鱼肚白里,有烟囱冒出的热气。

我觉得此刻满腔冗杂繁复的情绪唯有蟹黄灌汤小笼包才能治愈,遂当机立断,爬起床,简单地整理洗漱,五指成梳,随意地扒拉了一下及腰的长发,揣上手机,就啪叽啪叽下楼去食堂吃早饭了。

人烟稀少的食堂有些无聊,于是我掏出手机,任性地在知乎上发了条想法:我需要人陪我聊天,随便聊什么都行,除了数学。

等小笼包递出来的一小会儿功夫,知乎上就已经有好些评论和私信提醒了,我的心里泛起一阵被重视的窃喜与温暖。但我没想到其中一封私信正巧来自他高中直系学妹:「这里是仁华中学的一只学妹~学姐怎么啦?」还附带了比心的表情包。

我哑然失笑:「学妹好!我在等你学长的回复越等越失落呀~」

对方发来一个拥抱的表情:「学姐在妹子里已经够棒了。这么长时间了,没有缘分也罢,自己开心最重要。这些负面情绪配不上你的~」

我没想到会收到这样一份怵目惊心的温言善语,刚夹起的小笼包刚送进嘴里咬了一口,滚烫的汤汁没把我烫出眼泪,却噼里啪啦全砸进了竹蒸笼。

——两个人已经纠葛这么长时间了吗?

从口袋里掏出餐纸,笨手笨脚地擦干净脸上的残汤和溅到衣服上的油渍,稚拙而执著地回了一句:「谢谢!」

一屉汤包下肚,无比刺骨的温暖。

♥3

蟹黄灌汤小笼包本是我记忆里最治愈的食物,但每当和严羲何关联起来,就总吃得我一脸辛酸,却还要保持微笑。

去年的平安夜,我吃了翟少妍送的苹果,收下对方新的一年平安喜乐的祝福,洗漱完毕准备入睡,找高斯讨论问题,顺便期待明天一觉醒来袜子里有礼物的时候,不小心刷到了严羲何刚发的朋友圈:「回京啦,小伙伴们约起来~」配图是一头小香猪,正在期待地搓搓手。

然后看到原来一个小时前,他给我发了微信消息:明天中午不如一聚?

不知为何,我陡生出一种物是人非之感,好像对方变成了一个自己不认识的人一般。

于是,答应他一块吃饭的邀约的时候,我没来由地忐忑——到底两个人已经是两年半没见过面,也明显感觉到,两个人之间赖以维系的某些情愫,早已不见踪影。

我只好在床上辗转反侧——数过二百五十只绵羊,也数过二百五十颗水饺;听了十篇1.5倍速的新概念4,也听了十段0.5倍速的慢速VOA。最后终于放弃抗争,怀着「士可杀不可辱」的心态,忍无可忍地爬下床,从书柜的小铁盒里取出那幅千年数理大师的扑克牌,扯了一张压花宣纸,开始静坐冥想。

钢笔敞开着横躺在纸面上,笔帽晾在一旁许久。等我终于想到什么,终于肯拿起笔时,不小心触到笔头的宣纸早已被墨水洇烂。我不得不重新抽了张纸,刚落笔却又发现墨迹都是涩涩的,干涸而犀利的笔尖非但写不出字来,还在纸上留下令人难堪的划痕破口。

搁笔太久了。

宣纸上的绯红花瓣愈发刺眼,扼制了我的胡思乱想。

我拿出砚台,倒上一得阁的云头艳,解开缠在笔帘上的绳结,挑了那杆善琏湖笔厂的行草狼王小楷,狠狠地把墨浸到笔根,然后在砚边刮了几下,直至墨不再聚成水珠从笔尖滴落,麻利地签上那句世道突进不再具有特殊意义的祝语:心想事成,万事胜意:)

句子末尾的笑脸符号,却还和两年前一样,笔锋都不稳重——右括号因为起笔太重而收笔太快,顶端像钉头,尾部留了白。

在新中关地下的一品小笼门前的长队里,我没戴眼镜,也还和两年前一模一样,隔着明晃晃的五米,一眼就认出了严羲何的背影——同初见时一样,一身黑色大衣,只是少年身披国旗、十步一杀的骄傲荡然无存,横生出三分落寞、五分孤独与两分寂寥。

我幻想过的一百种再见时打招呼的方式,在这一刻都成了草稿纸里废弃的公式,被挤进裁纸机,碾成碎末齑粉——从背后拥抱太亲昵,拍肩膀太随意,扯袖子又过分小家子气。索性,距离仅剩一步的时候,我敲开微信对话框,发过去一句:回头。

三秒后,严羲何掏出手机,看到新消息提醒,然后转过身,看到头顶鹿角耳暖的我。

显然,我不知道此刻要做出什么表情和动作才表现得不那么突兀,隔了两秒才做出歪头加剪刀手的微笑回应——其实两年来,我还是老样子——有点蠢,非常傻白甜。

能感到严羲何在这个礼貌而不失尴尬的场景中强行重启了一下系统,然后于沉默对视三秒后,终于张口打招呼道:「好久不见。」

「好久不见。」别来无恙。

大家好像都长高了一点儿?

「您好,请问几位?」狭小逼仄有些拥挤的店面,服务生小哥忙碌地招呼着顾客,隔空对站在吧台前排队的严羲何询问道。

「两位。」严羲何熟稔地朝他挥了挥手。

服务员小哥四下张望了一番,目光寻到空位后,引着我们入座。

我跟在他们身后,热闹的气氛让我一时难以适应。

不得不说,「故人重逢」这种事,现实比书中的描述还让人心头一凛。即将二十二岁的我回过神来反思这些年时,忽然觉得自己和严羲何的结局在二十岁前夕「相忘江湖」才比较吻合玛丽苏故事的设定。我宁可没有这次圣诞节,也不害怕再也见不上面,就算以后「严羲何」只是鲜活在世人口耳相传里的人名,抑或只在新闻里才能偶尔看见关于他的好消息——如果,如果提前知道这次重逢,只会看见一个面目全非,甚至不敢相认之人。从此,不管对方是山穷水尽或是飞黄腾达,我再回忆起,都只会徒增苦涩与悲伤。

严羲何根据数学专业排名顺序,跳过排名第一的本校,以及西岸那边同时也是统计专业排名TOP 2的两所,研究生依次申且只申了四所学校,都在东岸——他还特意耐心地分别指名道姓,向我解释了一番没有申请剩下三所各自的原因——并且,总结陈词是自己以大概率不会去念书。

♥4

其实早在2016年7月,大二暑假的时候,我就隐约察觉到严羲何打算本科毕业后不再继续学数学的苗头。

那时候他在麻省做REU,我到纽约交换,距离挺近的。可那段没有时差的日子,我们在微信上的对话反倒跟离线留言似的断断续续,彼此回复对方的间隔比我在北京时还要长,基本在十二小时以上。而聊的话题,也不过是让对方帮忙算个东西。想来他那阵子每天实在是太忙了,根本腾不出时间见面,所以我就一直没告诉他,当时我人在美国。

于是乎,下着雨的独立日,我在纽约街头远远偶遇没带伞的他,也自然没敢走上前去。晚上看烟花的时候,周遭几乎处处都是情侣,我一个人孤零零地看着严羲何站在人群里孑然一身,仰望着天空,内心风卷云涌,却怎么也提不起上前和他打招呼的冲动。

我怕惊扰到他享受孤独。

好在他全程都被绚丽夺目的光芒吸引,没有空注意到角落里热泪盈眶的我。而根据朋友圈的照片记录,当天晚上,他就连夜赶回麻省继续憋定理证明了。

整个八月我们都没有联系过,他也没有在朋友圈更新任何实质性的动态。恰巧当时有个工程统计的会议正在征稿期,几个做机器学习的同学就拉着我一块儿合作。我正考虑着,专业分流是否往统计方向走,加之美国这边本科生课业对于一个亚裔学生根本就是轻如鸿毛,闲着也是闲着,便爽快地答应了。

一开始是帮忙查文献或者给代码debug,再之后组里的小老板就让我负责把文章里一个刚需的定理给证了。学的十几年数学终于变成了纸上万千变化的十八般武艺,睡前醒后终于有了可以思考并且值得思考的崭新命题,看着一个个小小的猜想,变成大大的定理,那感觉别提有多开心了。

证出整篇文章主定理的那一刻,我独自一人在办公室里,看着黑板右下角的方块止不住地偷笑,将手中的草稿纸一扬,一蹦三尺高。门没关,系里的同学路过,忍不住探出头来问:「Has your conjecture become a theorem?」

那天正是星期五上午,玻璃落地窗撒进漫天漫地的大太阳,我心情好到爆炸,高声回答,「Yes, it’s my theorem!」转过头问刚进办公室的易柏妧,能不能让尚耶鲁明天把食谱往后推一餐,我们一起吃午饭,她也高声说好。我觉得纷繁世间所有的成就感与幸福感都在这一瞬间向我奔涌而来,紧紧地簇拥着我,将我推上更高的楼阁亭台。

刚把主定理的证明写全,我就引起了团队里一位学姐的注意,她立即过来戳我私聊,问我本科毕业以后什么打算、继续念书的话想做什么方向、有没有兴趣报考他们师门的博士生。我被天上突然掉下来的巨大馅饼砸了个眼冒金星,脑袋嗡嗡作响——他们的大老板是我的学术偶像好吗!这剧情简直也太神仙玛丽苏了吧,当然忙不迭说好啊!

「不过,我们叶昼老师可是很抢手,并且有远超PhD qualify难度的入门考试哦,你可做好准备。」

「放心吧!」

一边做REU,一边码会议论文,还要上课修学分,生活被塞得满满当当。但我就是很虚荣呀,只要能在自己的名字后冠上「定理」二字,我就觉得,一阵热血奔腾——甜辣卤,为了人类心智的荣耀,我不需要闲暇,不需要周末,甚至不需要睡觉。

所以,直到开学前的某天刷arxiv的时候,我刷到严羲何的名字,随即发现,文章挂上去的前一天晚上,他就给我发信息说文章自己的文章已经改好投到杂志了,这才想起什么,赶忙补他朋友圈。

最新的一条是一篇长总结,那次REU的经历宛如迎头的一盆冷水,泼得他怀疑人生。项目的导师指导有限是一方面,真正令他感到迷茫的点在于,整篇文章用的尽是些初等的技术,字里行间都是效仿前人的影子,于他看来,新意不大;而得到的结论也有很强的限制性,同别的数学关联也甚微。所以整个项目做下来,确实得到了普世价值里不错的结果,可他又觉得实在没什么意思。所以,尽管一次偶然的经历不应该让一个人全盘否定自我,可严羲何还是和自己的内心产生了隔阂,开始不断地追问自己,学数学很开心是否意味着做纯粹数学研究也会开心?做纯粹数学研究的追求又是从何而来,自己为什么在此之前从未对此产生疑问?

那时我的研究兴趣已经逐渐从注重优美的概率往面向应用的统计方向倾斜,加之同样在做REU的缘故,所以完全能理解这种心情:当初有多么无比坚定地想要做纯粹数学,现在就要承受多么无比痛苦的信念崩塌,仿佛无数日子盖的罗马被人一夜拆了城墙。

不过当时我其实还是有一点挺想不明白的,严羲何的本科学校,拥有这个世界上最好的数学研究院,是无数大数学家所言「做数学最好的地方」,怎么会让他心里都生不出对数学研究的一丝儿欢喜,甚至连感兴趣的方向也没能找到——见鬼了吧。

♥5

在美国的一年里,严羲何在我生活里的戏份反倒跳水般地减少。

九月初开学的时候,我一直忙着办交换期间的选课和学分转换手续,一天下来微信上百条消息来不及清。直到半个月以后,在从微信公众号的推送里,才得知严羲何REU结束之后,回了一趟国,在仁华中学的开学典礼当演讲嘉宾。而开学典礼的前一天,他发了好几条消息找过我,可我一直没有回信息。

我发现这件事儿的时候,内心无比愧疚,盘算着到底要不要告诉他,自己当时已经在美国。可是又转念一想,我的学校离他们学校只有一个多小时的车程,可我明明答应过,只要有机会一到美国就来找他,如今却爽约,实在不好。

从十月开始,本来话量就不多的严羲何,连朋友圈动态都成了月更甚至双月更,导致我现在只能在他朋友圈点赞了,评论都不知道怎么敲。原本我们之间还能聊一下课业,现在连互相帮忙做题的交流都没有了。

怎么会变成这样?

十一月底,我的那篇会议文章接到了acceptance notification。我看着邮件,傻呵呵地笑出声,把收到录用通知的消息第一时间告诉了爸妈,还有组里的其他小伙伴,以及在国内的好朋友们。睡醒之后才想起来,我还没有跟严羲何说。

我对他的内疚又加深了几层,翻了半天才找到已经沉到很后边的严羲何的对话框,发现上一条消息还是他回国参加仁华中学的开学典礼时发的那条。这才意识到,我上次纠结地想着想着,结果忙起来又忘记了回复。

中午吃午饭的时候,硬着头皮给他报了喜,第二天下午五点四十五分时收到回复:「恭喜恭喜!你别老是睡这么晚。」

随后他又补了一条:「这阵子一直在忙着排话剧,才看到信息。」

看到他的回复,我终于松了一口气,原因并不是「还好,他没有因为我一直不回信息也不解释而生气」,而是「还好,我不回他信息的时候,他也正在忙,没有空在意我」。

还好。还好还好。

可是缓过神来,才发现这些「还好」,每一个都是如此闻者伤心,见者落泪,着实让人心寒。

——严羲何可是以为你还在东八区,关心你老是熬夜晚睡诶!

——你怎么可以这么想?简直无情无义嘛!

为了弥补我的愧疚,从那以后,严羲何成了我的微信置顶。

圣诞假期我没有回国,选择了留在美帝刷paper。所以,严羲何这个圣诞节和上一个圣诞节一样,约我吃饭没约成,不同的是,我们的坐标掉了个个儿。

于是,直到Putnam竞赛成绩出来,我们都没有再联系过彼此——那年Putnam,严羲何考得一塌糊涂,成绩一出来,就被爆到了各大相关社交论坛上。我看到帖子心很慌,不知道在这样的时刻能和他说些什么,只好偷偷借着时差,在东八区的凌晨,以小吧主的身份,删除了数学竞赛吧里关于这件事的所有讨论。等到国内天亮,大吧主起床发现吧务后台一屏幕的删帖记录时,他在吧务群里公开批评我太感情用事,不客观、不理性。我和他吵了一架,然后退群,不欢而散。

此后,我便极少参与贴吧的事情。

♥6

在美国交换的这一年,我变了很多,前路也愈发明朗起来。和学姐聊天的时候,她说自己的学籍其实挂在国内,走的是国家基金委的联合培养项目,两边学校都可以拿到博士学位。突然觉得,如果我打算最终在国内发展的话,这条出路或许是一个局部最优解,大概我也可以朝着这个方向试试,而且统计方向国内和北美环境差别不大,在一些小方向上甚至有优势,没有必要为了资本主义高校研究生院录取的随机性而把自己累死。

这样算下来,顺利的话,就是在国内呆三年又在美国呆两年,拿到两个博士学位证,且人生的进度条向前铺好了整整五年。然而,我也悲哀地发现,在我肉眼可见的未来里,似乎完全不需要严羲何的参与。而他所要奔赴的不远的未来,在Putnam成绩出来的一刻,业已尘埃落定,好像也没有我的位置。

他无法给我带来什么,我也无法许给他什么。大概……这就是,缘分尽了吧?

我把目前的计划和家人详细说了,先在国内保研,然后通过联合培养计划出国,他们都表示支持。然后我鼓起勇气在微信上把事情的来龙去脉告诉了严羲何:「我打算研究生先留国内了。」

这次他回复得很快:「香港?」

「不是。」我解释道,「我打算直接保研到数据科学中心。」

「见面说。」很快又得到了回复。

我正寻思着他这到底是提前放假回国了,还是从哪儿知道了我在美国的消息,又打算什么时候、约在哪里见的时候,他又发来一条新消息:「下周就放暑假了,回京一起吃饭吧。」

「这个假期我可能就不出去玩了。」我想了很久,一字一句敲下给他的回复,「保研的话有夏令营,而且我想申请的组还有单独的考试,得好好准备。而且,夸克金融那边也一直在给我发邮件,薪资已经开到让我有一点点动摇的高度,所以我也会过去找他们研究所的boss再详细聊聊。」

然后赶紧补了一句:「羲何,对不起……又不能和你去同一所学校上学了。」

我发信息时很少叫他名字,也就偶尔开玩笑的时候会叫一声「羲神」,更多时候都是有事直接说。印象中,也就高中那会儿叫得比较多。

过了好一会儿,严羲何才迟迟回复:「没关系。」

最讨厌这样没有语气的信息了。原本还在纠结,纠结自己这次放弃申请美国的学校到底对不对,但想来也没什么不对,我们又不是彼此的谁谁谁,我没必要因为出国留学的事情再次搁置而对他愧疚,他也没有必要为我的人生规划负责。

良久,我捏着手机,死死盯着对话框,屏幕两端始终僵持不下的诡异气氛在空气中蔓延开来,他终于又发了一句过来:「我觉得最重要的还是看你内心的想法。」

♥7

可惜,顺从内心的选择都是会付出代价的。

我太高估了我自己的实力。

当时数据科学中心已经在三月份直接到国内各个大学签约了一批保送生,又放了一部分名额给丘成桐大学生数学竞赛应用数学、概率与统计两个组的获奖学生,整个中心留给夏令营的名额屈指可数,所以,叶昼老师手上有且只有两个空缺,一个在北京的研究所,另一个要去上海。而我又只想呆北京,这就意味着,我要做那个万里挑一的学生。

太难了。

于是,本着分散风险的原则,我除了数据科学中心,还申了别的保底校,并顺利拿到了offer,就只等数据科学中心各个导师组的单独加试。

我本来打算等加试结果出来之后再拒绝我的保底校们,但是社会主义大学显然是不允许我像申北美学校一般操作。保底校只等我一天时间,也就是明天下午五点前要给回复。本来我的加试应该在今天,可是叶昼老师飞机延误,至今还在美国,只能临时委托另一个老师帮他面试学生,两个组明天一块考试,早上笔试下午面试,最快也得晚上六点才能出成绩。

两场加试我自我感觉答得很稳,于是,我赌了一把,四点半从面试考场出来之后,立即发邮件把保底校拒了。

事实证明,我的自我评价还是挺准的,六点现场公布成绩我排名第二,第一名报的又是另一个老师的组,我觉得我这offer拿定了。结果,七点回到寝室打开电脑,看见招生办公室的发来的邮件第一句话却是,「很抱歉」。

我整个人瞬间懵圈在电脑前,赶紧打了个电话过去问,为什么呀?凭什么呀?!

我是成绩单不好看,论文发表不够多,还是推荐信夸得不够天花乱坠啊?

对面负责招生的女老师回复说,都不是。

「真的很抱歉,叶老师一直没给我们回复,他收学生,我们不敢又擅自做主,只能宁缺毋滥了。不过,我们所有录取都是推荐免试的时候一起确认的,截止前找到他在系统上确认就行。」

呵呵。

说白了还是非第一名不要呗。但我怎么会愚蠢到拒绝保底校的offer,而不是拿到top choice再毁约(学弟学妹坑了就坑了嘛)。现在好啦,所有学校夏令营都结束了,我等于「全聚(拒)德」,只能在九月份推荐免试的时候,从别人放弃的tier 2学校里捡漏——有没有没招满的学校还另说。而且我还没有退路,我的TOEFL成绩今年十二月初就过期,要申请北美的研究生院就得再考一次。申请季马上就来了,标化考试位置肯定供不应求,我要到哪里去抢考位?!关键是,我还把人夸克金融的return offer给拒了,保不到研,我就只能坐等失学。

目光所及之处,我眼睁睁看着自己的前途命运像多米诺骨牌一样刷啦啦地全线崩塌,拿不出一点儿办法。

七夕的前一天晚上,雨下得好大好大,仿佛在为我放弃出国、放弃好几名大牛的推荐信而惋惜。那夜,我在房间里踱来踱去,窗外是缠绵凄恻的雨声,夹杂着不解风情的闷雷,心情烦躁到无以复加。

突然我按捺不住心中的空虚寂寞冷,点开了很久没点开的微信置顶对话框,敲敲打打、删删改改,填了一首《浪淘沙》:

星皎冷秋风,将晚晴空。

白头莫负少年穷。

昔日本心直指处,不改初容。

乌鹊架桥匆,银汉相逢。

今年花胜去年红。

遥想明年花更好,能与君同?

不是那么露骨,又不是太直白,他应该看得懂吧?这样想着,我点了发送,关了对话框。

约莫十二小时之后,才得到一个点赞的表情和他的回复:「话说你在research和intern之间现在有更清晰的想法了么?」

靠,不对!这是装傻充愣的节奏吗?谁要跟你说转行的事情!

看到这种若无其事的回复的瞬间,我感到莫名其妙的震怒与伤心。记忆里我们之间最大的问题的确就是关于未来人生的规划和选择——research(科学研究)还是intern(工作实习),是留在美帝还是回到国内发展,继续做数学还是把兴趣延伸到其他专业。

我以为我们多少有默契。

我以为对于我们终将殊途同归这件事不需要任何怀疑。

「嗯,我觉得说到底我还是一个执念很深的人,而且心里面还装着一个很大的问题没有解决。」我算了算时差,现在东八区是晚上九点,西五区则是早上九点,秒回应该不影响,于是叭叭叭地打了一长串,努力想要展开话题说多一点,「如果不到最后一刻,证明那个问题无解就放弃research,我一定会后悔的。」

「内心坚定有所追求是最重要的,加油啦~」按照这个语气,应该是心照不宣也选择了科研?那就不需要多余的担心了,等他的申请结果出来,联合培养的时候申他们学校就好了。

「一起加油吧!」

可远在Boston的倪燃得知这件事的时候,并不是这么想的:「知星姐姐,你这是被打太极了好吗!一腔诗意喂了狗啊!」

于是她气急败坏地跑到知乎上匿名回答了一个问题:严羲何是一个怎样的人?如何评价他?

而答案的开场白就是,「我有一个朋友,是一位做数理统计的姑娘。」

「后来这个姑娘喜欢上了一位学数学的少年。七分高冷两分呆萌一分温柔,剑眉星目,玉树临风,饶是和她心中的那番期许,一模一样。」

「我打高中那会儿起,就觉得他俩真是般配极了!就像不明真相的围观群众一本正经地胡说八道的一样。」

「七夕的雨下得好大好大,姑娘为他填了平韵的《浪淘沙》。可他就这样轻巧到若无其事地避开她的个人情感问题,然后这个回答就出现在了这道题。」

我虽然对外宣称绝对是这个答主脑洞太大,那天的《浪淘沙》不过是对五月时他曾尊重并回护住的一颗少女心的回答,但我心里清楚得很,倪燃在那个答案每一个词句,都是对现实毫不失真的描述——于是,我气急败坏地把网线拔了。

「水水,你不想上网不要连累我啊……」翟少妍锤桌子做痛哭流涕状,「我毕业论文打算提前开题的。」

我又把网线给插了回去。

今年花胜去年红。遥想明年花更好,能与君同?

能与君同?没有回答。他已经从西六区飞回东八区后,又飞往西五区了。

时间八成是个偷了齐天大圣筋斗云的妖怪,跑得比香港记者还快。

♥8

大四开学的第一天,我盯着笔记本荧屏上网页的白底黑字蓝条纹,彻底怔住了。

「大家好,我是谢允哲。」

——真是一个令人目瞪口呆的九月。

目瞪口呆的无知少女决定先打上一串的问号和惊叹号来抒发自己三观被毁的愤懑心情,完了又补上一句「我们要不聊一下高等代数选讲?」来扳回一局。

——不能只有我一个人受到惊吓。

「你吓到他了。」室友翟少妍端着牛奶一半水一半的K师傅鲜虾鱼板面,幽幽地飘过我的身后,泡面的咸鲜混合着牛奶的清香,在空气里甜腻地弥散。

没吃晚饭的我突然气到被饥饿占领了大脑,决定下楼吃夜宵。猛然站起时,椅子腿摩擦大理石地板,发出激烈而犀利的哀嚎。

——追风的少女,说走就走。

卖重庆小面的店内稀稀拉拉地点缀着几个人,冒着热气的面条积极地指示他们的坐标。柜台前年轻的女收银员疲惫地揉搓着双眼,小店内一贯慵懒的光线用刺骨的暖色调簇拥她略带肉感的身躯。我推开透明玻璃门,四下张望挑拣了一番,最后坐在一个紧靠落地窗的座位:「牛肉小面,重辣,多放香菜,少放辣油,小米椒越多越好。」

「姑娘是四川人吧?」负责点单的服务员用川渝方言问道。

眉毛不自觉挑起十分之一秒,我愣愣地点点头,又突然反应过来,使劲摇了摇头。长长的马尾扫在椅背上,婆娑作响。

我不是四川人,却不知道从何时起,饮食起居、生活习惯都像极了四川人。

热腾腾的汤面上铺着大块大块的牛肉,鲜红的小米椒在碧绿的香菜的映衬下格外醒目。我抄起勺子,毫不留情地又往里头加了三大勺孜然辣汤,拿起筷子夹起一撮面正准备吃,猛然想起了什么,又掏出手机,打开客户端,点开了方才那名自称是谢允哲的网友的个人主页,一行签名映入眼帘:我不喜欢不喜欢我的你。

这哪里像制霸2014级上下三届高中数学竞赛的「坐标哥」XYZ,谢允哲?

于是,我又在那个问候贴中回了一句,「无知少女刚连上网,你别骗我。」

面吃到一半,手机屏幕突然亮了一下,显示有消息提醒。果然见那人在写着聊高等代数选讲的楼层回复道:「随便你~」

我明显感受到心跳漏了一拍,想起曾经有一个人同我说起过只有少数人知道的一个关于谢允哲的秘密往事。

然后我嘴角一撇,飞快地在手机上打字:「那我们聊聊高八数学自习室的墙吧!进门左手边靠窗那儿,你觉得手感如何?」

对方回挺快:「很违和。」

我百无聊赖地托腮,心想,这好像没毛病,可怎么就觉得这么……不甘心呢?要是真是谢允哲本人,看那个ID似乎在我这充满少女心和黑历史的个人贴吧里驻扎了许久,这样的话,岂不是……

细思恐极!

我不由得打了个寒战。

吃饱喝足回到学校,徒手打开寝室房门,换好拖鞋,单手撑墙,直勾勾盯着正坐在一旁敷面膜的翟少妍问道:「我哪儿吓到他了?」

反射弧可真长,翟少妍用余光看着我,仿佛心想,这腿也可真长。

「你没发现吗?你真的吓到他了。」因为敷着面膜,翟少妍的声音有些含糊。

我白了她一眼:「不觉得。他吓到我还差不多!」

「你看啊,假设路上有个人,兴高采烈地跟你打招呼,可是你呢?」翟少妍把面膜取下,扔进垃圾桶,整个流程一气呵成,「你跟他说,嗨,你记不记得你大一高等代数选讲考了零分!你说他能不受到惊吓吗?」说罢,摆出一副黑人问号脸的表情。

「分明我才是受到惊吓的那个人好不好?」我扶额长叹,「突然马路上蹦出个人,大喊『我暗中观察你很久啦!你是不是暗恋我基友四年啦?』就问你觉得吓不吓人?」

翟少妍两手一摊:「他怎么知道你暗恋谁?」

「你当人家CMO集训队第一智商跟你似的?」言毕,拿着杯子牙刷毛巾洗漱去了。

大家都是聪明人,这种事情还有猜不到的吗?

可是,比起「被人站在升旗台上朗诵自己的情书」这种级别的尴尬,让我觉得更跌份儿的是,我不得不面对即将过来询问我近况的大批同学,一遍遍和他们阐述「我大概率要变成失学儿童」这样的噩耗。我知道申请季来了,无论保研的、出国的、工作的,大家都一直提心吊胆,所以我没有打扰任何一个朋友。当然也怪我太拧巴了,觉得升学这样关乎人生前途的大事,我自己弄的烂摊子,没有人会愿意为我收拾。

所以我谁都没有吱声,就连父母都不知道我至今还没有一份确定的offer。奇怪的是,当我决定独自一人在申请季里绝地求生的时候,思路反倒格外开放。我先去找了系主任,他一直蛮宠我,见我这个节骨眼上来了,知道肯定是保研的事情出了什么问题,就宽慰我说,没关系,本校的夏令营没有招满,留本校肯定没有问题。而且他也动用他的人脉打听打听,争取在学信网的系统开放之前,知道哪家更好的学校推荐免试名额还有空余。我描述了自己的想法,于是他问我,如果学校不在北京的话,有没有关系。我有点犹豫,但这都什么时候了,容不得我挑三拣四的,只好答应下来说,给老师您添麻烦了!系主任看出了我的窘态,摆摆手说,不用怕,我相信你是个天才,到哪里都能做出成绩。

我突然灵光一闪,想起在美国的时候,学姐提到过,叶昼老师带的第一个学生高中在仁华中学,本科和我来自同一所学校,是他见过最有天赋的学生,也是个女孩子,可惜最后转行了,他一直惋惜到现在。而系主任之前上课的时候也曾偶然说起,第一次见到我的时候,还以为是多年前的一个学生回来了,我和她长得实在太像。

于是,我打听到叶昼老师手上的一个项目结项,最近肯定要回北京准备答辩,遂从箱底翻出一直没有机会还给严羲何的校服外套,剑走偏锋,一连半个月早出晚归,蹲守在叶昼老师数据科学中心的办公室门口——好在平时我就常常过来这边听报告,门卫对我都脸熟,不然估计不是提高拜访的口试题难度,就是把我直接当民科给轰走。

♥9

直到学信网的系统开放,系主任那儿都没有消息,我也没有堵到叶昼老师。我查了所有能叫上名字的学校的官网,也都没有放出推荐免试的通知。

又过了将近半个月,10月10日,数据中心北京研究所录取的截止日期。而一大早,数据科学中心在上海的研究所官网上才发出一则十分简短的推荐免试招生通知。

——考什么,没写。

——怎么考,也没写。

——什么时候考,还是没写。

这个招生到底还有没有诚意了嘛!

整份通知里,唯独写得清楚的信息,就是九个放出的名额里,其中七个是专业硕士,剩下两个硕博连读的名额里,一个是量化金融方向,另一个就是叶昼老师那「宁缺毋滥」的组。

眼下,无论我多么不乐意离开北京,这都是我最后的上学机会。我没有任何选择的余地,只能在系统上把名给报了,并且吸取了上次的教训,保险起见地在报考方向上填了量化金融。刚提交不到十分钟,招生办公室就打来电话。

「你好,请问是辰知星同学,对吧?」上海办公室的老师是位小哥,但感觉比北京这边办公室的女老师温柔亲切许多。

「是的,我是辰知星。」

「这里是数据科学中心上海研究所招生办公室。你的材料已经通过了我们的初审,请你于星期五早上八点准时参加我们的复试。考试分为上午和下午两场,上午笔试,下午面试。笔试内容包括但不局限于概率论与数理统计,面试全程需要使用英文,我们的地址是……」

他说了一长串信息,但我确信不能错过的只有:星期五早上八点。

「那不就是后天?!」

「对哦……」电话那头的声音有些诧异,似乎是才意识到这件事,不过很快又恢复了温柔与镇定,「你有什么问题吗?」

我这种时候哪里敢有什么问题,只能硬着头皮确认信息:「没有问题,我一会就订机票。我确认一下,笔试内容是概率论与数理统计,面试全程英文。」

「我觉得考什么你就别管了,还是赶紧订机票吧。」招生办公室的小哥倒是实诚,「证件带上身份证和学生证就行,其他纸质材料就不用带了,你考过北京的研究所,系统里备份了电子版。」

正在我十分郁闷地在食堂刷明天去上海的机票,时间最早的一张都是下午两点的,刚抢票付完款,好巧不巧,学姐就发来信息说,她有同学在中心看到叶昼老师出现了:「我问过招办,我们的系统下午三点关闭,叶老师中午一直在办公室,你现在马上过去找他还来得及。」

天不亡我!

现在是十二点,衣服来不及换了,材料……书包里只有简历和文章的检索证明,其他的就不带了,赶时间要紧。

一路上没拦到出租车,公交车又还没我跑得快。十二点半,气喘吁吁地跑进数据科学中心,门卫大叔想都没想就给我倒了杯咖啡,递过来:「又来找叶老师呢?」

我接过水,道了声谢,点点头。

「小姑娘慢点喝,别着急……你这次来得真巧,叶老师下来刚准备去吃饭,又被学生拎着盒饭,架上去讨论问题了。」

早听闻叶昼老师是个大忙人,学生每次找他讨论问题都要在办公室围追堵截,今日一见,果然名不虚传。

我喝完咖啡,上了楼,整理了一下着装,就杵在办公室门前,等着他们讨论完。可一直等到两点半,他们还是没有对要算的非参数估计结构达成共识。眼看着系统就要关闭了,我一咬牙、一跺脚,推开门就说:「叶老师,这个地方虽然能写成一个条件期望,但本质思想是用截面伪似然……」

时间凝固了半分钟,屋里的学长才怔怔地吐出五个字:「苏……苏橘师姐?」

而接下来,是我这辈子都忘不了的叶昼老师那一脸惊呆的表情,以及,那句「哎呀,看来我真是老了」。

我在心底的偷笑,努力克制住就要上扬的嘴角,双手把简历递过去给叶昼老师:「叶老师,不好意思,我是辰知星,上次加试的第二名。这是我的简历。」随即又补充道,「苏橘是我本科08年毕业的学姐,我们的确长得很像。」

「简历很漂亮。」叶昼老师点点头,招呼着本打算逃跑的学长坐下,「你回来,听她怎么讲完刚刚那个估计怎么做的。」

然后我拿起粉笔,干脆利落地在黑板上画出统计量的几何结构,然后解释要估计它是如何看成做投影,这个投影又是如何等价于一个截面伪似然估计的。

刚讲完,就看见叶昼老师开着电脑,登录系统,点击鼠标,然后……

「啊哦,它说系统关闭过了呢。」叶昼老师抬头看了一下墙上的石英钟,时针分针都不偏不倚地指在三点的时刻上,唯独不听话的秒针,刚好多出来一格。他两手一摊,「怎么办呢?你只能去上海再考一次咯……」

「呜哇!」一说到只能去上海,我当时瞬间抱住一旁的学长嚎啕起来,哭声穿透了整层楼,办公室的玻璃都震了一下,「师兄,救救我,救救我!」

学长友好地回抱着我,拍拍我的肩膀:「小师妹,冷静点。放心,没事的啊。」

叶昼老师真不愧为统计界的第一杠把子,当即神补刀:「哟,这八字还没一撇呢,这『师兄师妹』的就先叫上了?」

我挣开学长,擦了一把眼泪,气到跳起来:「叶老师!」

「我现在还不是你的老师,你要通过上海的考试才行。竞争很激烈,加油哦!」

我觉得我整个人身上被插满了飞刀,随时都可能倒地,对着黑板一通狂锤。叶昼老师却仍然锲而不舍地连连爆出扎心话语:「上海那边什么时候考试啊?」

「后天。」我抽了张纸,擦了一下鼻涕。

「噢哟,你看,招办那帮人又不通知我……后天我还要结项答辩呢。」叶昼老师往椅背上悠哉一靠,仿佛整件事和他毫无关系,「许信曜啊,你明天带她去上海考试好了,顺便帮她复习复习……哦不行,你比她还水,把她教坏了就不好了。嗯……那你就代我跟郑老师说一下,有什么要我签字的,他来签就行了。我要准备答辩,这种事情别来烦我。」

「老师,上海那边入学后才选导师……您不用签字确认。」

「哦,那你就不用去了。」

这就是,学术大咖的世界……吗?

走出办公室的时候,我看着夕阳落入京城都市的丛林,蓦然被一种难过与辛酸包裹。我都还没来得及好好看看这座城市,就要匆匆赶往下一站。

而在另一座陌生城市里,我会变成更好的人吗?

♥10

去上海的行李,除了日用品和换洗衣服,我只带了概率论和数理统计两本笔记。

落地之后,为了万一笔试考数学分析,又赶紧找来在上海的同学,借了本baby Rudin,可在宾馆过了一轮基本定义之后,却怎么也复习不下去。这时刚好有人敲门,结果门外站的居然是……许信曜。

「我们的考试,临时抱佛脚的作用就是个无穷小量。」许信曜不由分说地就把我拉出房门,拿走了我的房卡,「走吧,我带你看考场。」

也许是经历了offer惊魂之后,我对学校的期待值降低了,又或者真的是因祸得福,上海的研究所环境比北京的更对我胃口。因为是挂在大学的学院名下,地盘明显开阔许多,有单独的楼座、有猫、有钢琴,还有盆栽。

但贴在考场门前的复试名单,一下子摧毁了我对未来的期待——我的名字上方,三个大字:谢允哲。而第二天,2017年10月13日,四年前正好是高中数学联赛的日子,更给了我一种宿命轮回之感。

上天果然从来就没有吝啬过对我的考验。我不知道为什么一直都想做复几何的谢允哲会到这里来,但我确信以他的天赋,即使没有任何统计背景,也可以用泛函分析的办法把所有问题解释清楚。

完了。全完了。

许信曜似乎看穿了我的心事,提议来一个「幸运的拥抱」。也许是我因为这阵子的动荡不安的遭遇,内心充满恐惧,不由自主抱得很用力,他最后低头在我嘴角轻轻一吻,说,应数也伟大而美丽。

后来,许信曜送我回宾馆之后,就连夜赶回北京了。我看着他在迷濛细雨里撑着伞远去的背影,忽然觉得这个人……有点可爱。

我不记得我怎么考完后来的两场考试,只记得那天我一个人伫立在白渡桥上,看千帆过尽,往来的行人神色匆匆,不知不觉天色渐晚,华灯初上,浓浓的秋意勾勒一幅渔火申江。下一刻,手机的蜂鸣便把画面的动静皆宜强制转化为全盘动态,我看了一眼来电显示:统计学院招生办公室。

当电话那头说我已经被拟录取时,我没有觉得惊讶,也没有觉得如释重负。只是他们告诉我,我可以方向任选的一瞬间,大脑无视了王牌专业的诱惑,也忘记了对冷漠学术圈的失望,只浮现出那时纠结着直接本科毕业去工业界那夜,严羲何跟我说的那句:「我觉得最重要的还是看你内心的想法。」

于是,坚定的声音融进江风:「我选数理统计。」说到底,这才是本心;是黄浦江畔,晚风习习,吹进耳里变成他常说的「不失本心」。

虽然换了城市换了学校,却意外回护了最初的坚持,也算兑现了自己「不失本心」的承诺。可惜,命运总是在每一次馈赠的背后,暗中标上了价码。

♥J

每天上课、查资料、写论文,安稳的日子持续了一个多月,直到11月25日,肖邦的夜曲快要接近尾声。

四年前的今日,十七岁的少年写下「生一世,总要有明知不可为而为之的勇气」,更幸得雅典娜垂恩,荒唐的奢望在几经波折之后,竟也尽数兑换成为现实。

从此以后,他再也不是居住在我一个人的记忆碎片里,穿着红白校服,向教授讲解同余数计算的仁华中学高中生;而是鲜活在所有人的口耳相传中,身披五星红旗,代表当年世界物理奥林匹克最高水平的国民学神。以至于四年后的我不得不又一次赌上整个胸膛里的勇气,才敢点开微信置顶的对话框:「我不相信神灵,但我相信能量守恒。所以岁月总更迭,历史又重演。加油!」

我没想到,两个小时后收到的回信,却是关于家国大义:「哎……只希望国家不要自作孽了。」

我虽然近来无心过问人间红尘事,但是也没到漠不关心民间疾苦的程度,但这一点儿不妨碍我得出推论:我们两个人之中,肯定至少有一个把今天的剧本拿错了。

「今夜我不关心人类,我只想你。」虽是引用,却也是真心话。为了不把剧情向大冒险推进,隔了几十秒,我又加了一句,「你学校申请得怎么样了?」

「啊已经填了四家,就差推荐信。」这个回复出现得太及时,根本分不清句首的感叹词是因何而起,「其他学校再慢慢看吧。」

编辑框里的字打了又删,删了又打,从剖白变成祝福:「好运气借你,希望你同我一样有意想不到的收获~」

「所以……你去哪里了呀?」没有讶异,没有惋惜,也没有惊喜,仿佛一块青石漫不经心地投入静水流深的湖底,激不起涟漪,波澜不肯惊。

她关了电脑爬上床,抖开被子,把信息回了:「还是去数据科学中心了。不过,在上海。」

「所以准备读金融了吗?」都说人们只要看到「数据科学中心上海所」,都会默认是冲着它金融的金字招牌去的,看来连他也不能免俗。更何况五月我在面对一系列接踵而至的步履维艰时,曾和他说起,自己决定转行回去做金融的念头。

「数理统计。」其实网申志愿,我也的确是填且只填了量化金融,只是录取确认的最后一刻改成了数理统计,「所以我以后大概就照着既定的人生轨迹,好好学数学,好好找教职,好好发展数学文化啦!你呢,什么打算?」

「我现在越发倾向于去工作了,特别是最近看见一些事情以后。」半年前,我的纠结与无奈,如今尽数到了另一个人的身上,「现在有那么多的现实问题,感觉去做学术这种纯粹的个人追求的事业,还是一个出世的选择,不太符合我个人的价值体系。」

太阳与水星离得那么近,两者却永远不会相交;严羲何与辰知星,总有一个人在考虑转行。而说好了今夜不关心人类,最终还是不得不关心人类。

「所以工作的话……你是打算留在那边,不考虑回国咯?」仿佛人生计划再一次被打乱,我坐在床上盯着手机屏幕发呆,完全没感受到周遭突然暗了下来。直到听见正在写代码却突然遭逢断电的翟少妍的哀嚎,才抬头看了一眼熄灭的灯管,蹙了蹙眉。

「如果这次事件的处理结果我不满意,那就只能用脚投票了。原本的想法还是如果工作的话,积累科技金融产业的经验,日后回国做一番事业;如果去读博,就回国发展中国的数学,并做自己的研究。」严羲何打了很长的一段话,「我下个月就回国了,要不见面聊?」

「好。」

圣诞节那天从包子店出门的路上,有成群结队穿着仁华中学红白战袍的小同学,却没有一个把严羲何认出来。

我打趣道:「竟然没有人把你认出来诶~」

「毕竟已经毕业这么久了。」严羲何扯出一个笑容。

「很久了吗?」我走在他前面两步,突然停下来,回头道。

「也快四年了。」严羲何沉吟了一会,「嗯……好像也没有很久?」

倒是这个表情让我才忽然发觉,时间已经过去这么久,久到我得一个人完成我们十七岁的梦想——如果忘记天赋使然太难,那我祝你一生喜乐平安。

楼梯口前,我看见严羲何的眼睛,神色浓几乎快要滴出水来,脑子里一秒闪现出八百句他可能的告别语,努力地捕捉对方面部表情里的蛛丝马迹来验证自己的猜想。

正在我准备花光胸膛里所有澎湃激荡的勇气,准备用一个猝不及防的拥抱代替一切言语时,只听见他平静地说了一句:一切顺利。

这话远没有我想象中的动听,自然也没有我想象中的绝情。于是,我爽快地放弃了原本左胸口里装载完毕的一腔孤勇,同他微笑告别,笃定地上楼,头也不回地走出新中关广场。

日光倾城,有些刺眼。

♥Q

寒假没等到元宵节过完,我就又回北京了。刚落地就收到今年即将博士毕业的高中学长靳锐冬的微信消息:「突然想起来,你是不是快本科毕业了……」

「我毕业论文几乎都是在南楼写的,你居然不知道我是今年毕业?」

「我一直在晨兴这边,不太去南楼……而且,PhD念久了,是有点对除了deadline以外的日期时间什么的不敏感……Anyway,半年后我就可以滚回南方啦!」

「工作吗?还是博后?」虽然博后也是工作。

「哈哈,有可能是直接工作。找个坑,去憋问题。」靳锐冬回信时顿了顿,「也可能和杜老师一样直接去当园丁,教高中数学竞赛。」

「感觉我认识的今年毕业的学数学的普遍转行了。」

「我也有可能。不过……你不算学数学的么?」附带斜眼奸笑表情。

「经常被网民开除数学籍,我干脆圈地自萌了。」

「给高斯的CV添砖添瓦?」

「对。」

「不过我觉得,什么有意思玩什么,这才有激情。」继续附带斜眼奸笑表情,「我如果离开,只会带着激情离开。柯屹那种真是太遗憾了……」导师过于沟通关系紧张,做的方向又分明潮流已逝之属,纵是资质卓群,也无力回天。

「我前阵子还在知乎上偶遇柯学长了呢。」我有些感伤,「他说他游走在圈子的边缘,算不得做数学的了。我就觉得好难过啊……」

「其实科研行业,竞争本就激烈,而且回报的大多是精神成就感。」靳锐冬不紧不慢地打字道,「虽然选择的时候会很痛苦,但人生总有遗憾。」

知道这段对话后的严羲何给我发来一句:「放心,如果我最后转行了,一定是带着九死未悔的心态去的。」

那天晚上,我宅在寝室专心地写着《陶哲轩实分析》,已经到第八章了。

以前看到这一章那20道习题早已经头昏眼花,但现在看来,和陈希孺《高等数理统计》课后动辄一百多道习题相比,根本不值一提。

翟少妍捧着牛奶一半水一半的鲜虾鱼板面走进来,看到一丝不苟的我开始偷笑,不小心让面汤烫到了手背。

作为一个选择性耳聋的人,我当然没有听见她的尖叫,只是很急躁地想要把这一章的习题写完。

事与愿违。

到底不是专业做分析的,没有到炉火纯青的熟能生巧,面对需要巧劲的证明,越急越想不出来。

我终于也有了一次题做到一半,就气冲冲地摔下笔的时刻。

翟少妍有那么一秒觉得我要把书柜里的书全撕了——她见过我的失落、伤心、纠结,却是第一次见到我的,暴躁。

不,也许还见过一次的。只是那时候她只顾着一个劲儿地疯狂吐槽严羲何,只能听见网友们的附和声,耳道里容不下一点我的情绪。

可她也说过,在她心里,我是个有沸点的人。无论正负面,都只有温度升高到一定程度的情绪才会表露出来。很多时候,这个沸点温度的催化剂就是严羲何。

只要和严羲何扯上关系的情绪,很快就藏不住了。

所以此时她不免用一种无限悲凉的眼神看着我。

我的本能终于起了一次作用,开始辩解——辩解这种行为从来无关真相,只是出于自我保护。说完了,连我自己也觉得无甚意思,端起翟少妍的汤面碗,大干一口。

「味道不错。」

「祝你长高。」

其实只是我只是白天整理电脑里的照片的时候,看见了夜阑湖海老师的博客里,所有关于严羲何的文章的截图。

还有很多鲜活在世人口耳相传里的故事背后,流淌着的点滴往事曾真实存在的证据。一切都时过境迁、沧海桑田,再也回不去了。柯屹转行后消失在大家的社交网络里;靳锐冬纵是留下来做博后,也与十七岁的梦想相去甚远;易柏妧去了深圳,尚耶鲁到了香港,倪燃在波士顿,黄倩衣至今没有任何消息,严羲何要转行;就连当初一起嬉笑玩闹,在各大光荣榜上疯狂霸屏的学长和同学们也都渐渐没了联系。

相聚时,是一团热烈的晚霞,灼烧愚钝世人的眼,染红广袤无垠的天边;一旦分散,则成了满天的星星点点,于下一个黎明消失不见。

我摔下笔的瞬间,找回了身上消失已久的荒谬的自由。

做题是为了让自己因为学到东西而开心,而不是为了刷高GPA好去美帝找严羲何。真实的辰知星应该是累了,就不学了。懂得适可而止,绝不会为难和委屈自己。

陪伴是最怂的告白。

♥K

清明后的黄昏,出了食堂也不知道应该去哪里,随便沿着一条路走,到了分岔路口,抛一枚五角钱硬币,数字面向左,荷花面向右……反复循环。

从一个岔路口到另一个岔路口,我始终低着头,呆滞地盯着地面变换的路面。路灯不算明亮,校园蒙上了一层灰蒙蒙的颜色,有种脏兮兮的冷漠。

抬头的时候,赫然发现站在了近春园。

我清晰地记得,虽然离开了科研学术界,可是冠名「华罗庚」的讲座杜卿元老师却从未缺席,每一年都会回到近春园来。第一年是刚当选法国国民议会议员的菲尔兹奖得主作报告,后来Z教授来的那年,他作为竞赛教练,带着我一起过来,后来上了大学,我便也再未缺席过一次。

大一的冬天,Z教授又来做报告,靳锐冬发了条朋友圈调侃「不会又要发钱吧?」,恍如隔世一场的语气,让我突然忘记了呼吸。

数学家总会在历史的天河里成为一颗璀璨的星星。可是整座园子里面那些因为考试而紧张焦躁的孩子们,却像是一台台量产的机器,流泻的数学符号里没有一丝灵魂——他们毕竟真的不懂得他们证明演算的究竟是什么。

报告厅的黑板上早已没有那些同余数的痕迹。烧掉的清华学堂被翻了新,新的学堂又变成了旧的学堂。那篇恣意生长的荷塘月色,也被分成了细碎的一块块,我四下张望,倒映在湖面的影子,全然看不见自己十七八岁的模样。

我突然明白了那时候的黄倩衣。

「这是一个缺少伟人的时代,那是因为我们一直太功利,期待孩子们明天多一点责任感和使命感;这是一个缺少大师的时代,那是因为我们缺少悲天悯人的情怀,期待孩子们明天对人对事多一分同情、善良和敬畏;这也是一个缺少真人的时代,那是因为我们一直顾虑太多,期待孩子们明天在纷繁的世界面前,不要忘记自己最渴望的到底是什么。如果真正追问到底的话,我们就会发现物质绝对不是我们最终极的追求。」

所以,幸福属于平凡的大多数,但众神却只有黄昏。

最最关键的时候,大多数人选择了把唾手可得的光明碾碎,宁可进入漫长的黑夜。

平凡的大多数。我至今很想知道黄倩衣不由分说就逃出教导处的原因,到底是为死去的梦想而心痛,还是在与命运做最后的抗争。

我发现这件事的确让自己难过了很久,却又好像不是最难过的。我怀疑自己是不是早就麻木了,只是不甘心地站在荷塘月色前吹冷风。

我偏执地步行穿过几乎整个校园,走出东门,来到车站,登上一趟355,选了一个靠窗的座位。

窗外景色流转。然而海淀黄庄北的灯火辉煌却还是老样子,华丽却亲切。我想起那个拉小提琴的老爷爷,想来已经被文明城市建设团队驱逐到了别处。那时候我总想着等下次严羲何回国,就带他来这儿听老爷爷拉琴,后来又总是想到他从小在附近上学,怕是早就听腻了,便始终没有说一句:「神坛站久了,要不要当一下平凡的大多数?」

还有学而思。虽然时隔好几年,隔着几千公里,我还是能记起中学时代竞赛培训的滴滴点点、朝朝夕夕。每次下课,她都会和倪燃争抢控制电梯按键的权力,还有永远写不完的《奥赛经典》、《中等数学》增刊模拟。

那时候黄昏的天空就像浇上覆盆子果酱的蓝莓冰淇淋,蓝得发紫,紫又渗红。我们在卖螺蛳粉和云吞面的路边摊,举着烤串,说着以后会如何如何。

曾经的如何如何,事到如今也变成了如此这般。

我被夜风冷到了,不情愿地躲进新中关购物中心,一层的专柜永远洋溢着明快柔和的色彩。不知为何,今天商场里的人群稀少,只有三五个女生小团体,其中两群身穿校服,都是红白相间的配色,一群是醒目的「仁华中学」,而另一群,来历不明。她们都在附近转来转去,却什么都没买,好像和自己一样是来避寒的。

还有两个是穿着职业装的女大学生。

突然听见其中一个女生说,「倩衣、倩衣!快来看,这块表跟你那块像不像?」

我惊讶地循声望去,那个高高瘦瘦、面部正则性强、五官充满棱角的女孩子,眉宇间依稀还能看见中学时的模样。她踩着高跟鞋,一路小跑到那个女生身边,看着天梭柜台里那款魅时系列的石英腕表,好脾气地笑道:「我这块五十块都不到,在路边的精品店随便买的,跟这个能比吗?」

「黄倩衣?」

名副其实的富家千金大小姐,你为什么会穿这么廉价的料子做的衣服!还有,什么时候开始买高仿品了!

黄倩衣转过脸,探询地看着我:「你是……辰知星?」

我摇摇头:「不是,我们都认错人了。」然后,目送着两个女生走上去往二楼的扶梯。

廉价的职业装没有掩盖住黄倩衣身上淡淡的Bvlgari活力海洋香水味,她脸上依然没有一道多余的线条和阴影,笑容平和又满足。升到半空的时候,她甚是疑惑地看了一眼我,转而莞尔一笑,仍然像初见时,那个「桃花依旧笑春风」的天才少女。

只是,她已经放弃了天才少女本该有的人生。

在严羲何身披国旗、十步一杀的时候,我曾有过一瞬间可怕的预感,预感有一天严羲何也会经历一场声嘶力竭的讨伐,一群和他毫不相干的人对他选择的人生指指点点,安上一个「小时了了,大未必佳」的帽子,长吁短叹他的泯然众人……

泯然众人。有一天严羲何会不会也在高楼林立的广场上,安心地拉着一个人,在倒春寒里哆哆嗦嗦地躲进一栋大楼,一边取暖,一边笑闹?

我感慨旧友被岁月的洪流洗涤去棱角,却忘记了,众神历经黄昏,在万家灯火里拥有了平凡的大多数的幸福时,平凡的大多数也正幸福地歆羡着众神的黄昏。

谁会稀罕你的九死未悔?!

走回到寝室门前的时候,手里的手机屏幕亮了一下,点开一看,是严羲何的回复:嗯会,而且是倾向于长期回国。

我脸上一热,脑子里听见嗡的一声——

山有木兮木有枝。

按完发送,径直扑倒在披着毛巾、敷着面膜、睡眼朦胧的翟少妍怀里:「我跟他摊牌了。」

「真是辛苦你了。」她没有推开我,我们两个人的姿势在静谧的走廊里显得有些生硬。

几分钟后仍不见明显此刻就在手机前的人的回复,翟少妍腾出一只手抽出我兜里的手机,以我的口吻发了狠话:「要拒绝就痛快点。我明年走国家基金委的交流项目,今年内就要联系教授。」

「嗯我不能接受异地。」我起身夺过手机,当即看到劈头盖脸的一盆冷水,「而且,说实话……我觉得仰慕是远方的人的投影,我觉得会有很多理想的成分。」

翟少妍提起我的手,看了一眼新消息:「卧槽,你们明明已经不能算是异地了啊!」

我苦笑着,用一种故作坚强的语气把大洋彼岸那人的话驳回,无奈地耸耸肩,抬头对眼前人说道:「他可能真的丢了战心,也迷失自我了。」

「我觉得异地问题很难解决。而且没有解决的动力……所以抱歉了……」这次回复只间隔了九分钟。

「但我有。而且我可以解决。」

「得了得了,你看他这话都没逻辑了。」翟少妍作为这段暗恋故事一路上的见证者,已经丧失了看这部狗血言情剧的耐心,并对故事的男主角失去信心,「学数学的人说话没逻辑就是在撒谎、在逃避,你就别留恋了,他不值得你这样。」

「行了,你让我静一静。」我无力地推开翟少妍,疲惫地瘫在床上,换了几个姿势躺着仍觉得不甚自在,干脆坐起来,靠在墙边,结果又不幸有开水浇在了萌芽的学术之花头顶上。

——我觉得……这种事情需要双方都有意愿才行的。

——我很感动,很荣幸。但确实没有想法,抱歉……

看到这样的言语,我整个人成了被天狗吞掉的月亮,心脏颓靡成一颗老核桃,丑陋不堪,干瘪异常,但是仍然淡定地强颜欢笑地回复道:「哎,那你快点有情人终成眷属吧。不然按照我的脾气,我是不会放弃的。」

翟少妍生气地爬上床,把浑身疲软的我扑倒,一把夺过手机,麻利地朝着祝福她可爱又迷人的室友「找到人生的另一半」的对话框甩出一句:有了女朋友别忘了请我吃饭。

这段神没逻辑浪费感情的对话,到此为止吧!

「敢情我跟你讲那一大通道理,最后连德摩根律都用了,都是废的啊?」翟少妍把手机还给我,恨铁不成钢,「他已经不是你认识的那个严羲何了!」

——如果一个人对你善良或对你有感情,如果他知道你们不可能了,就一定会跟你说清楚,让你不要再浪费时间浪费感情。

——既然他没有和你说清楚,根据德摩根律,他对你既不够善良又没有感情,那你何必为他付出更多感情?

我闭上眼,深吸一口气,看了看天花板,把只写到一半、原先计划统共九页的剖白情书转成图片扔进对话框,果然好几天都没有收到回复。终于在严羲何发了一条最新的去听音乐会的微信朋友圈状态后,我打开私信小窗:「还没想好怎么回答我么?」能不能不要每次都这样无应答,把我弄得像一个粗心大意弄丢了先验分布的傻瓜?

「因为不知道应该怎么回答……」果然又是这样。

「随便说。」这一刻的我,出奇的冷静克制,「你觉得存在的问题、对我的想法,随便说呀。」

「那我就直说了……朋友没问题,但是恋人我觉得你就不要抱有期望了……」

「我在你心里是什么样子呀?」

「你很好,但是我就没动过心……」所谓「很好」,说白了就是不了解,又不愿意有更多了解。

就这样吧。

♥A

说实话,我一开始还真没怎么往心里头去,想来是因为期末和毕业的压力让我没有太多的精力去思考严羲何的事儿。而且我早就预料到了,严羲何转行在朋友圈发通告只是完成了转行的第一步。可我没有想到,接下来精疲力竭的劝说和解释工作,竟然还需要我来承担。

我实在不知道丢了「同行」标签的我,要以什么立场、还能有什么立场辩白,可一直到严羲何正式入职前,我所有公开社交软件的私信箱都维持着炸锅状态,共同的关注者、学弟学妹们,甚至记者朋友,都拿着他的「通稿」截图来问我,「一月的时候,羲神不是还兴高采烈地接了Harvard的offer吗?」即便在我苦口婆心的反复确认之下,有几个人勉强接受了这个事实,但还是忍不住在我面前吐槽他简直是丧心病狂,连Harvard数学系的offer都能随手就是一拒。更多不明真相的围观群众让我在各大中文搜索引擎上,在「严羲何」的关联词条里成为「严羲何女朋友」,甚至于我立夏那天直接给我空降了个热搜。

那天,一篇关于「奥赛金牌到二本师范学校教书」的《人物》周刊报道和当事人的回应铺天盖地刷屏的瞬间,我突然想起,三年半前我的十七岁将尽时,我看着BBC关于费马大定理的纪录片,抱着《奥赛经典》几何卷呜哇呜哇地哭,替谷山丰委屈,替现实而冷漠的学术圈愧疚,替Wiles的妻子释怀,当然,也替Wiles感动;三天半之后我二十二岁已至时,依然只能看着一个定理被证明的故事,手里抱着一本关于几何的书,替曾经为这个悬而未决的定理却求而不得的人们委屈,替现实而冷漠的学术圈愧疚,替最终证出定理的数学家的恋人释怀,替摘下王冠上明珠的数学家感动,颇有一种岁月更迭,天道有常,循环往复,未曾更改之伤感。

而在这段因果轮回的宿命里,严羲何就像一场很长很长的梦。梦醒了,所有的情节退潮,像是欲言又止的空白草稿,一个定理都没有留下。唯独那些曾经见证过我梦境的人们偏执地叫嚣着,喧嚷着,「继续说呀!然后呢?然后呢?」站在聚光灯下的我只能抱歉羞赧地垂下头,低落地沉声言道,「对不起,没有然后了」。可观众们还是不愿意走的,便开始高声尖叫,安可!安可!安可!

几乎在《人物》周刊的报道喜提知乎热榜的同时,一个一直以严羲何为标杆的陌生学妹发私信给我,说自己突然得知严羲何不打算继续朝着他曾期许的道路潜行时,震惊之余全是失望。她明白严羲何有自己的无奈,可是自己的标杆倒了,梦想的途上起了大雾,甚是迷茫无错,问我怎么办。

小姐姐你好,默默关注了你许久,我非常欣赏你,你的良善、随和、对数学的热爱,对羲神的关心,都让我敬佩不已。三年前我初涉物竞,无意间从网上看到了羲神的事迹,发现原来世间还有人可以厉害到这种程度。我处于强省弱校,学校对于竞赛只刚刚起步,在学物竞的那些时光里,周围有无数人都劝我放弃,别折腾了,去接受安逸的高考吧。一方面是对于物理的真切热爱,一方面又是想起羲神曾说过的那句:生一世总要有明知不可而为之的勇气。我一直坚持下来(当然最后结果并不是很好,但这过程无怨无悔,且是我高中最珍视的时光)。我想说,那时黑暗无边,我寻不到路在何方时,是大洋彼岸那个人曾经坚定的目光激励着我,让我一次次失利后擦干眼泪再次前行。但是,昨天才知晓,原来他早就不打算再继续朝着他曾期许的道路前行了。震惊之余全是失望。我想我明白他有他的无奈吧,但于我而言,他更像是一种标杆,能够让我无所畏惧地朝梦想前行。而此时标杆倒了,我梦想的途上起了大雾。我很想知道他到底是为何而放弃?

我不知道怎么替她传道授业解惑,只好默默把很多年前填的《江城子》发给她:

少年自有少年狂,

世无双、任嚣张!

学海无央,何故羡严郎?

犹记傅家龙虎将,

一声吼,九重堂。

凤凰岭上气轩昂,

映红妆,傲骄阳。

对酒当歌,天地正苍茫。

可上九天携晷景,

明月照、冷松岗

但我是能明白她的感受的。就像几年前我给一个学长打电话,他不好意思地跟我说:「学妹对不起,我已经不做数学了,帮不了你。我这届只有靳锐冬还在做数学,我把他电话给你,你去找他吧。」;就像在知乎上偶遇柯屹,他那一句「我只是游走在边缘,已经算不得做数学的」,把我击得登时泣不成声;就像在仁华修炼了十年终于成仙的同学,在瑞银的饭局上,偶遇他们学校的第一位IMO金牌得主……

那年电话的忙音仿佛仍在耳边萦绕,东风穿堂,新中关灯红酒绿,街灯夕照,没长出枝桠的行道树把天空撕得四分五裂,马路悠长,长得根本没有尽头。

我想,「解铃还须系铃人」,于是我把私信转给了严羲何。然后得到回复,「我觉得我的想法已经和你说过了啊。」

对,他是和我说过。

我甚至能清晰地感受到他最初做决定时的惶恐、踌躇,和内心深处曾有过的挣扎,头顶上滂沱的一场痛。

几近十年数学路,何堪今日至此处?

待到山桃绯红时,数非其数物非物。

纷扬如絮绀香雪,昔日寒窗曾苦读。

数理未窥真门径,论资应是强功夫。

组委却称才尽乎,河东漫漫归无路。

概因本研曾崩殂,绿水长流终殊途。

何苦?何苦!

强极则辱,慧极必伤,情深不寿。

我懂。我真的懂。

可是现在需要找到迷宫出口的,在屏幕的另一头,是一个十七岁的小女孩儿,不是那个彪悍到带着一张成绩单、一纸CV、一份检索证明,就敢单枪匹马连夜坐飞机空降到人生地不熟的城市,去跟一帮学界前辈斗智斗勇,说「If not me, who? If not now, when? 」的二十一岁的红衣姑娘呀!

于是我跟严羲何说,「我觉得,这事儿不是让一个和你成长经历相似,陪你一路走来的人理解你。而是怎么跟17岁的自己说:『嗯即将22岁的我转行了,没能如你所愿。』」

「如果是对自己的话我觉得我只能说,你自己过几年就明白了啊。」

我一时语塞,因为十七岁的我肯定就是不能明白的。

十七岁的我没有十七岁的严羲何懂事,却作为整个故事的见证者,从短发齐耳走到长发及腰,从青涩懵懂走到沉静随和;即将二十二岁的我终于同他一样懂事,却始终没办法说服那个十七岁无知又好奇的少女,接受他转行的现实。

因为他可以肆无忌惮奢侈地挥霍所有青睐、仰慕、崇拜的底牌,让一个和他有着相似成长经历、陪他一路走来的女孩理解他的每个想法、每个决定,毕竟被偏爱的人总是可以有恃无恐的;可我要怎么开口对一个十七岁、对未来怀着花发满枝的憧憬的孩子道歉,告诉对方「对不起,我没能实现你心中所愿」?

所以,如果是我的话,那个十七岁的我只会指着这个即将二十二岁的我的鼻子,哭得梨花带雨,娇嗔着,声嘶力竭地怒骂道:「我恨你。我恨你一辈子!」

我知道我就这么转行她肯定要恨我一辈子的。

在她的世界里,和一步一个脚印实现自己一如既往坚持的期许相比,百万年薪又算得了什么呢?十七岁的梦想那么珍贵,这个时间成本,恐怕没有一家公司付得起。故而,无论和她说什么,她永远都无法明白——她永远只有十七岁,永远年轻,永远长着一张没受过欺负的脸,永远被雅典娜和缪斯眷顾,永远对万事万物都怀着花发满枝的憧憬和好奇。She will be mad, sexy and cool for ever.

是而,她不会懂得数学、爱以及成长其实是三件有些矛盾的事儿,现实世界的赞誉和心智荣耀的抱负常常不可得兼;她自然也永远不会懂得,最爱少年的她和数学最好的她,势必隔着一整个青春。

可我懂。我必须懂。

学校教务处给毕业生送纪念品以及发毕业材料的最后一天,上午我考完双学位最后一门的微观经济学,直接录入了成绩。下午图书馆门前,我接过纪念品和毕业证、学位证,只听见系主任用一种极其郑重的语气对我说:「一如既往,一切顺利。」

我本想示以礼貌而乖巧的笑容道谢,感谢老师这四年来的指导与照顾,可脑子里不由得「嘭」地一下砸醒说好了再也不提的记忆,想起就在过去上一个的冬天,就在上一个圣诞节,就在离这不到三公里,就在我熟悉到不能再熟悉的北京,在新中关地下的楼梯口与车站前,是一则来不及预料到有始无终的故事尾声,是严羲何临分别时对我说:一切顺利。

眼眶里的洪水终于在顷刻间决堤,再也收不住了。

在毕业论文的致谢里,我如是写道:

仲夏宴,清酒一杯歌一遍。

再拜陈三愿:

一愿少年长喜乐;

二愿平安身强健;

三愿如同归鸿雁,数与君相见。

薄霞晚雨去,看尽京城梨。

碧藤绕青虎,绯花落橙地。

不堪流觞逝,肺腑得此句。

酬君越人歌,敬谢浮生意:

一谢尝相识,数理同余曾恣肆;

二谢或相知,不失本心一诺执;

三谢终相弃,未染油盐酱醋事。

怜君笑似凝,恨我语太迟。

雪夜未见戴,言欢何所似?

岂是伶言客,独求共深思:

日月本灵犀,天地不同时。

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张量几何

张量几何 | 温柔的「Fly, bitch!」

也许因为老板自己的孩子在美国,又跟我年纪差不多,我总觉得,他把那些给不到自己孩子的爱,都分给了我。

当我吊儿郎当、学得稀里糊涂的时候,他在办公室里把我一通臭骂,就算我哭声已经在整栋楼里传遍了也毫不留情——可却也会私下找辅导员关心我的心理状态,怕我读出毛病;向任课老师询问我的学习进度和情况;甚至还找过助教(我们师姐)看我作业……

其实,盛名如他,他完全可以把我托管给任何一个AP,但他没有。

♦♡♦

旁人都说,「Y的学生,没有不成才的」。

可他们不知道,老板从不缺席我们任何一次讨论班,甚至还会亲自给我们上小课——和十几年前,他不是杰青,不是长江,只是一个普通的统计学工作者,带如今人见人夸、前途无量的大师兄时,一模一样。

他们只看见老板的「fly, bitch」,对我们要求严格却很少有时间和我们做下来单独聊天;他们只看见我们这群学籍不在一处的学生,每次见老板都要早早等在办公室门前围追堵截;他们只看见,我们头天看文献看到一两点,第二天还得天不亮就起床,再花两三个小时的时间挤地铁、爬公交,到城市的另一端上讨论班——每周至少两天,三班倒。

他们只看见,我们的Annals of Statistics,我们的JASA,我们Royal B在刷屏。

♦♡♦

不足为外人道也。

只需要我们自己人懂得,倘若有谁即将坠地,老板无论身在哪里,永远都是第一时间奋不顾身carry我们的那双羽翼。

他从来都培养强者,却从来不放弃弱者。

所以,他总是这样:把我们拉到高峰然后狠心放手,循环往复,直到我们可以独立飞行。

他给了我们极大的自由——虽然「fly, bitch」,但也温柔。

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调和分析

调和分析 | 处理MSE的几种思路

众所周知,学了统计,不可避免要算一堆MSE(mean square error)的minimum,也就是这么个玩意儿

\arg\min_{f(X)}\mathbb{E}(Y-f(X))^2

这时候看起来还是很正常的。但估计起来,就不可避免地和条件期望等恶趣味爆棚的东西撞个满怀。

然后我们一般都会很崩溃。

Case 1

正常情况下(愉快地碰到性质比较好的样本,比如X\bot\!\!\!\bot Y

X\bot\!\!\!\bot Y

,我们大都会进行这么一个操作,构造出好算的bias,然后放缩一下。

\mathbb{E}(Y-f(X))^2=\mathbb{E}(\mathbb{E}(Y-f(X))^2|X)
\\=\mathbb{E}(\mathbb{E}(Y-\mathbb{E}(Y|X)+\mathbb{E}(Y|X)-f(X))^2|X)
\\=\mathbb{E}(\mathbb{E}((Y-\mathbb{E}(Y|X))^2|X)+2\mathbb{E}((Y-\mathbb{E}(Y|X)(\mathbb{E}(Y|X)-f(X))|X)+\mathbb{E}((\mathbb{E}(Y|X)-f(X))^2|X))
\\\ge\mathbb{E}(\mathbb{E}(Y-\mathbb{E}(Y|X))^2|X)=\mathbb{E}(Y-\mathbb{E}(Y|X))^2

\arg\min_{f(X)}\mathbb{E}(Y-f(X))^2这里利用的是第三行的第二项为0的性质:

\mathbb{E}((Y-\mathbb{E}(Y|X)(\mathbb{E}(Y|X)-f(X))|X)
\\=(\mathbb{E}(Y|X)-f(X))\mathbb{E}(Y-\mathbb{E}(Y|X)|X)
\\=(\mathbb{E}(Y|X)-f(X))(\mathbb{E}(Y|X)-\mathbb{E}(\mathbb{E}(Y|X))
\\=(\mathbb{E}(Y|X)-f(X))(\mathbb{E}Y-\mathbb{E}Y)=0

按道理,其实这种有美好的独立性的时候,我们是没有理由崩溃的

Case 2

没有独立性的时候,我们取条件期望,会有类似的结果。

\arg\min_{f(X)}\mathbb{E}((Y-f(X))^2|X)=\arg\min_{f(X)}\mathbb{E}(Y^2-2Yf(X)+(f(X))^2|X)
\\=\arg\min_{f(X)}\mathbb{E}((f(X))^2-2Yf(X)|X)
\\=\arg\min_{f(X)}((f(X))^2-2f(X)\mathbb{E}(Y|X))

h(f(X))=(f(X))^2-2f(X)\mathbb{E}(Y|X)

\frac{\partial h}{\partial f(X)}=2f(X)-2\mathbb{E}(Y|X)=0

解得:

f(X)=\mathbb{E}(Y|X)

即:

\mathbb{E}((Y-f(X))^2|X)\ge\mathbb{E}((Y-\mathbb{E}(Y|X))^2|X)

对任意的

f(X)

恒成立。在一定情况下,对两边取期望,则又有:

\mathbb{E}(Y-f(X))^2\ge\mathbb{E}(Y-\mathbb{E}(Y|X))^2

case 3

少数令人头秃的情况下,我们无法正面说明下式成立。(what case?)

\arg\min_{f(X)}\mathbb{E}(\mathbb{E}((Y-f(X))^2|X))=\mathbb{E}(\arg\min_{f(X)}\mathbb{E}((Y-f(X))^2|X))

于是,我们老实吧唧地尝试一种很笨拙的办法

\arg\min_{f(X)}\mathbb{E}(Y-f(X))^2=\arg\min_{f(X)}\mathbb{E}(Y^2-2Yf(X)+(f(X))^2)
\\=\arg\min_{f(X)}\mathbb{E}((f(X))^2-2Yf(X))
\\=\arg\min_{f(X)}\mathbb{E}(\mathbb{E}((f(X))^2-2Yf(X)|X))
\\=\arg\min_{f(X)}\mathbb{E}((f(X))^2-2f(X)\mathbb{E}(Y|X))\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots(1)

由条件期望的定义,我们可以知道,

\mathbb{E}(Y|X)

可以表成一个关于随机变量

X

的一个函数,不妨就记为

g(X)

,于是,(1)式等价于求一个映射

f

使得概率空间

(\Omega,\mathcal{F},P)

上的一个Lebesgue integral最小。即:

\arg\min_{f}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)(f(x)-2g(x))dP(x)

将此Lebesgue integral看成求曲线下面积,那么自然有等价于求

\arg\min_{f(X)}f(X)(f(X)-2g(X))

解得:

f(X)=g(X)=\mathbb{E}(Y|X)
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调和分析

调和分析 | 如何高雅地调戏中小学生

问题:将三角形三边进行n等分,连线,构成一堆三角形,并将三个顶点染成三种不同的颜色。如图。

约定边内点的颜色,只能与三角形顶点之一同色。

证明:必有最小三角形三顶点不同色。

简证:对三角形的任意一边,判断内点的奇偶性即可。

机智的朋友们已经发现了,这就是小学生版的Sperner’s Lemma.

由这个版本的Sperner’s Lemma,我们可以让中学生证fixed point theorem.

可惜年已经过过了,欢迎大家五一回家调戏家里的中小学生:)

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调和分析

调和分析 | 莫要爱上一个醉汉

他以概率1回家,一直要走到时间的尽头……

问题:今有一身处一维世界的醉汉自酒吧而出,离家N米,等概率向家方向一米或向家的相反方向一米,回到家则停止抽(随)风(机)行(游)为(走)。问:醉汉回到家的概率和期望步数?

解:记家为原点 0 ,酒馆为 N ,向家为负,向家的相反方向为正。

设醉汉从位置 n 处回到家的概率为 p_n ,显然有 p_0=1 。若醉汉位于 n+1 处,则回家过程看作两步:(1)从位置n+1 处经过一系列随机游走到达位置 n ;(2)从 n 走到 0 果断回家。

由于正方向一直到无穷远处皆无障碍,故,步骤(1)的概率与从位置 1 回家的概率相等,为 p_1 。

于是有递推公式:

p_{n+1}=p_1p_n

所以, p_N=p_1p_{N-1}=p_1^2p_{N-2}=\cdots=p_1^{N-1}p_1=p_1^N

同时,对位置 n ,有差分方程 p_n=\frac{1}{2}p_{n-1}+\frac{1}{2}p_{n+1}

故, p_1=\frac{1}{2}p_0+\frac{1}{2}p_2=\frac{1}{2}p_0+\frac{1}{2}p_1^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}p_1^2

解得: p_1=1

故,无论 N 取多大,总有 p_N=p_1^N=1 。意即,无论家有多远,醉汉总会回到家

然而,接下来我们算一下醉汉回家的期望步数 \mathbb{E}_N 。

从位置 N 出发,可能用 2n+(N-2) 步回到原点, n=1,2,\cdots 。

问题等价于从位置 N 出发,一直走到位置 1 ,共用 2n+(N-3) 步,期间可能多次到达位置 1 ,但从未继续往家一米。

设 a_i=\begin{equation} \left\{              \begin{array}{lr}1,朝家走\\-1,朝反向走\end{array} \right. \end{equation} ,考虑问题的反面, a_1+a_2+\cdots+a_m+a_{m+1}+\cdots+a_{2n+(N-3)}=N-1 ,其中, a_1+a_2+\cdots+a_m=N 为第一次到达 0 。

那么, a_1,a_2,\cdots,a_m中,一定有N个 1,剩下 (m-N)个数中, -1,1各一半,且有-a_1-a_2+\cdots-a_m+a_{m+1}+\cdots+a_{2n+(N-3)}=-(N+1) 。

所以序列 -a_1,-a_2,\cdots,-a_m,a_{m+1},\cdots,a_{2n+(N-3)} 中, -a_1,-a_2,\cdots,-a_m 里一定有 N 个 -1 ,剩下 2n+(N-3)=(2n-3) 个数中, -1 比 1 多一个。

即,序列中有 (N+n-1) 个 -1 ,和 (n-2) 个 1 。

于是,满足题意的回家方案有 (^{2n+(N-3)}_{n-1})-(^{2n+(N-3)}_{n-2}) 种。

因此,用2n+(N-2)步回到家的概率为 P_n=\begin{equation} \left\{              \begin{array}{lr}\frac{1}{2^{2n+(N-2)}},n=1\\\frac{(^{2n+(N-3)}_{n-1})-(^{2n+(N-3)}_{n-2})}{2^{2n+(N-2)}},n=2,3,\cdots\end{array} \right. \end{equation}

于是, \mathbb{E}_N=\mathbb{E}_N(n)=\sum_{n=1}^\infty(2n+(N-2))P_n \\=\frac{1}{2^N}\times N+\sum_{n=2}^\infty\frac{(^{2n+(N-3)}_{n-1})-(^{2n+(N-3)}_{n-2})}{2^{2n+(N-2)}}\times(2n+(N-2)) \\=\frac{1}{2^N}\times N+\sum_{n=2}^\infty\frac{(^{2n+(N-2)}_{n-1})}{2^{2n+(N-2)}}\times N \\=N\sum_{n=1}^\infty\frac{(^{2n+(N-2)}_{n-1})}{2^{2n+(N-2)}}

该级数发散。故,醉汉回家的期望步数 \mathbb{E}_N\rightarrow\infty

所以啊,莫要爱上一个醉汉,那近似是个不回家的人~

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调和分析

调和分析 | 证明依概率收敛有几种方法?

近来学会一道数理统计学常用证明招式:拿着结论加条件。

这就好像我要做一道单身界名菜——番茄炒蛋,然后先不查菜谱,凭想象力确认需要的食材和调料。好的,那么今天的问题是:

证明依概率收敛有几种方法?

严肃一点:今有i.i.d.随机变量序列 X_n ,要证其依概率收敛于随机变量 X ,我们需要什么条件?意即,随机变量序列X_n\overset{\mathcal{P}}\rightarrow X 的充分条件有哪些?其中哪些条件是充要条件?

1、由定义。 \mathbb{P}(|X_n-X|<\epsilon)\rightarrow 1 or \mathbb{P}(|X_n-X|\ge\epsilon)\rightarrow 0 as n\rightarrow\infty

2、 \mathbb{E}(X_n-X)^2\rightarrow0 ,由切比雪夫不等式易得。

3、任取 X_n 的一子列 X_{n_k} ,都有这一子列X_{n_k}的子列 X_{n_{k_i}}几乎处处收敛于X,则X_n依概率收敛于X

(根据知乎评论区补充)

4、X_n is Cauchy in probability

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调和分析

调和分析 | that,同「之」,取消句子独立性

阅读英语词典,我们知道,that有五种词性。

(1) subordinating conj.

He thought that he passed the exam.

(2) relative pron.

He took the exam that was hard.

(3) Demonstrative pron.

That was hard.

(4) demonstrative adj.

That test was hard.

(5) Adv.

The test was that hard.

阅读古汉语词典,我们发现,文言文中的「之」能与英文中的that隔着语种,遥相呼应。

(1)结构助词。

王如知此,则无望民之多于邻国也。

(2)关系代词。

予独爱莲之出淤泥而不染,濯清涟而不妖。

(3)指示代词。

为之,则难者亦易矣。

(4)指示性形容词。

之二虫又何知!

(5)副词。

蜀道之难,难于上青天!

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时变函数

时变函数 | Mathful Review of Linear Mode

市面上讲线性模型/回归的书,大多从motivation到结构,一股浓郁的计量经济味儿扑面而来——我、不、喜、欢。

我决定自己写个线性模型的review,希望过年前写得完。

本文预备知识:(高等)数理统计、高等代数(矩阵论)

◆♡◆

上课的时候,我总觉得线性模型是高等代数版的数理统计,实则理解上出现了偏差——与其说它是XX版的XXXX,毋宁说,它之于数理统计,相当于高等代数之于解析几何。

广泛些,将统计系的三门基础课——线性模型、概率论、数理统计——与数学的三大分支对应,应是「线模同代数,概率如分析,数统似几何」

如果让我写本高代的书,我一定会最先从矩阵讲起。

同理,如果写一个线性模型的review,我必然会从随机矩阵(向量)讲起——从高斯马尔科夫定理讲起,到底什么玩意儿……

好了,我开始讲(zhuangbi)了。


1、随机向量与随机矩阵

1.1 引言

我们考虑多元回归方程组:

\begin{equation} \left\{              \begin{array}{lr}             {\rm y}_1=\beta_0+\beta_1{\rm x}_{11}+\cdot\cdot\cdot+\beta_p{\rm x}_{1p}+\epsilon_1 \\             {\rm y}_2=\beta_0+\beta_1{\rm x}_{21}+\cdot\cdot\cdot+\beta_p{\rm x}_{2p}+\epsilon_2\\ \vdots\\             {\rm y}_n=\beta_0+\beta_1{\rm x}_{n1}+\cdot\cdot\cdot+\beta_p{\rm x}_{np}+\epsilon_n                \end{array} \right. \end{equation}

这个方程组的通俗(不严谨)解释是:我们手上总共有n组样本,每组样本假定具有p个与响应变量相关的自变量,和一个常数项,外带一丢丢误差。

在高等代数中,多元线性方程组可以写成矩阵形式,同样的,多元回归方程组也可以写成矩阵形式:

\textbf{y}=\textbf{x}\pmb{\beta}+\pmb{\epsilon}

其中, \textbf{y}=\left( \begin{matrix}\rm y_1\\\rm y_2\\\vdots\\{\rm y}_n\end{matrix}\right),  \textbf{x}=\left( \begin{matrix}1&\rm x_{11}&\cdots &{\rm x}_{1p} \\1&\rm x_{21}&\cdots &x_{2p}\\\vdots&\vdots &\ddots&\vdots\\1&{\rm x}_{n1}&\cdots &{\rm x}_{np}\end{matrix}\right), \pmb{\beta}=\left( \begin{matrix}\beta_0 \\\beta_1\\\vdots\\\beta_p\end{matrix}\right),\pmb{\epsilon}=\left( \begin{matrix}\epsilon_1\\\epsilon_2\\\vdots\\\epsilon_n\end{matrix}\right)

有时,我们用 \textbf x_i来表示矩阵 \textbf{x} 的第i个行向量 \begin{matrix}(1&{\rm x}_{11}&\cdots&{\rm x}_{1p})\end{matrix} . 故,线性回归方程(组)又可表为:

{\rm y}_i=\textbf x_{i}\pmb{\beta}+\epsilon_i

1.2 均值、方差、协方差和相关系数

假设我们熟知数理统计中的那一套对随机变量的均值、方法、协方差和相关系数的定义。

1.2.1 均值向量

设 \textbf y 为 n\times1 随机向量,i.e. \textbf{y}=\left( \begin{matrix}\rm y_1\\\rm y_2\\\vdots\\{\rm y}_n\end{matrix}\right) ,则

\mathbb{E}({\textbf y})=\mathbb{E}\left( \begin{matrix}\rm y_1\\\rm y_2\\\vdots\\{\rm y}_n\end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix}\mathbb{E}(\rm y_1)\\\mathbb{E}(\rm y_2)\\\vdots\\\mathbb{E}({\rm y}_n)\end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix}\mu_1\\\mu_2\\\vdots\\\mu_n\end{matrix}\right)=\pmb{\mu}

由向量的加法和期望的性质可知,对 n\times1 随机向量 \textbf{a},\textbf{b} 有

\mathbb{E}(\textbf{a}+\textbf{b})=\mathbb{E}(\textbf{a})+\mathbb{E}(\textbf{b})

1.2.2 方差、协方差矩阵

假设 \sigma^2_1,\cdots,\sigma^2_n 为 {\rm y}_1,\cdots,{\rm y}_n 的方差, \sigma_{ij} 表示 {\rm y}_i,{\rm y}_j,i\ne j 的协方差。

则协方差矩阵

\pmb{\Sigma}={\rm cov}(\textbf{y}) =\left( \begin{matrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\cdots &\sigma_{1n} \\\sigma_{21}&\sigma_{22}&\cdots &\sigma_{2n}\\\vdots&\vdots &\ddots&\vdots\\\sigma_{n1}&\sigma_{n2}&\cdots &\sigma_{nn}\end{matrix}\right) \\=\left( \begin{matrix}\rm cov(y_1,y_1)&\rm cov(y_1,y_2)&\cdots &{\rm cov}({\rm y}_1,{\rm y}_n) \\\rm cov(y_2,y_1)&\rm cov(y_2,y_2)&\cdots &{\rm cov}({\rm y}_2,{\rm y}_n)\\\vdots&\vdots &\ddots&\vdots\\\rm cov(y_n,y_1)&\rm cov(y_n,y_2)&\cdots &{\rm cov}({\rm y}_n,{\rm y}_n)\end{matrix}\right) \\=\left( \begin{matrix}\mathbb{E}({\rm y}_1{\rm y}_1)-\mu_1\mu_1&\mathbb{E}({\rm y}_1{\rm y}_2)-\mu_1\mu_2&\cdots &\mathbb{E}({\rm y}_1{\rm y}_n)-\mu_1\mu_n \\\mathbb{E}({\rm y}_2{\rm y}_1)-\mu_2\mu_1&\mathbb{E}({\rm y}_2{\rm y}_2)-\mu_2\mu_2&\cdots &\mathbb{E}({\rm y}_2{\rm y}_n)-\mu_2\mu_n \\\vdots&\vdots &\ddots&\vdots \\\mathbb{E}({\rm y}_n{\rm y}_1)-\mu_n\mu_1&\mathbb{E}({\rm y}_n{\rm y}_2)-\mu_1\mu_2&\cdots &\mathbb{E}({\rm y}_n{\rm y}_n)-\mu_n\mu_n\end{matrix}\right) =\left( \begin{matrix}\mathbb{E}({\rm y}_1{\rm y}_1)&\mathbb{E}({\rm y}_1{\rm y}_2)&\cdots &\mathbb{E}({\rm y}_1{\rm y}_n) \\\mathbb{E}({\rm y}_2{\rm y}_1)&\mathbb{E}({\rm y}_2{\rm y}_2)&\cdots &\mathbb{E}({\rm y}_2{\rm y}_n) \\\vdots&\vdots &\ddots&\vdots \\\mathbb{E}({\rm y}_n{\rm y}_1)&\mathbb{E}({\rm y}_n{\rm y}_2)&\cdots &\mathbb{E}({\rm y}_n{\rm y}_n)\end{matrix}\right)-\left( \begin{matrix}\mu_1\mu_1&\mu_1\mu_2&\cdots &\mu_1\mu_n) \\\mu_2\mu_1&\mu_2\mu_2&\cdots &\mu_2\mu_n \\\vdots&\vdots &\ddots&\vdots \\\mu_n\mu_1&\mu_1\mu_2&\cdots &\mu_n\mu_n\end{matrix}\right)=\mathbb{E}(\textbf{yy}^T)-\pmb{\mu\mu}^T  \\=\left( \begin{matrix}\mathbb{E}(({\rm y}_1-\mu_1)^2)& \mathbb{E}(({\rm y}_1-\mu_1)({\rm y}_2-\mu_2))&\cdots &\mathbb{E}(({\rm y}_1-\mu_1)({\rm y}_n-\mu_n)) \\\mathbb{E}(({\rm y}_2-\mu_2) ({\rm y}_1-\mu_1))& \mathbb{E}(({\rm y}_2-\mu_2)^2)&\cdots &\mathbb{E}(({\rm y}_2-\mu_2)({\rm y}_n-\mu_n)) \\\vdots&\vdots &\ddots&\vdots \\\mathbb{E}(({\rm y}_n-\mu_n) ({\rm y}_1-\mu_1))& \mathbb{E}(({\rm y}_n-\mu_n) ({\rm y}_2-\mu_2))&\cdots &\mathbb{E}(({\rm y}_n-\mu_n)^2) \end{matrix}\right)=\mathbb{E}\left( \begin{matrix} ({\rm y}_1-\mu_1)^2& ({\rm y}_1-\mu_1)({\rm y}_2-\mu_2)&\cdots &({\rm y}_1-\mu_1)({\rm y}_n-\mu_n) \\({\rm y}_2-\mu_2) ({\rm y}_1-\mu_1)& ({\rm y}_2-\mu_2)^2&\cdots &({\rm y}_2-\mu_2)({\rm y}_n-\mu_n) \\\vdots&\vdots &\ddots&\vdots \\({\rm y}_n-\mu_n)({\rm y}_1-\mu_1)&({\rm y}_n-\mu_n)({\rm y}_2-\mu_2)&\cdots &({\rm y}_n-\mu_n)^2\end{matrix}\right)=\mathbb{E}\left(\left(\begin{matrix}{\rm y}_1-\mu_1\\{\rm y}_2-\mu_2\\\vdots\\{\rm y}_n-\mu_n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}{\rm y}_1-\mu_1&{\rm y}_2-\mu_2&\cdots&{\rm y}_n-\mu_n\end{matrix}\right)\right)=\mathbb{E}((\textbf{y}-\pmb{\mu})(\textbf{y}-\pmb{\mu})^T)

即:

\pmb{\Sigma}={\rm cov}(\textbf{y})=\mathbb{E}((\textbf{y}-\pmb{\mu})(\textbf{y}-\pmb{\mu})^T)=\mathbb{E}(\textbf{yy}^T)-\pmb{\mu\mu}^T

广义方差(Generalized Variance):随机向量 \textbf{y} 的广义方差为其协方差阵的行列式。

GVar(\textbf{y})=\det(\pmb{\Sigma})=\left| \pmb{\Sigma} \right|

Standard Distance:也称为Mahalanobis Distance

D_s=(\textbf{y}-\pmb{\mu})^T\pmb{\Sigma}(\textbf{y}-\pmb{\mu})

1.2.3 相关系数矩阵

\pmb{P}_\rho=\left(\begin{matrix}1&\rho_{12}&\cdots&\rho_{1n} \\\rho_{21}&1&\cdots&\rho_{1n} \\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\\rho_{n1}&\rho_{n2}&\cdots&1 \end{matrix}\right)

其中, \rho_{ij}=\sigma_{ij}/\sigma_i\sigma_j 为 {\rm y}_i,{\rm y}_j 的相关系数。

令 \pmb{D}_\sigma=({\rm diag}(\pmb{\Sigma}))^{1/2}={\rm diag}(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n) ,有

\pmb{P}_\rho=\pmb{D}_\sigma^{-1}\pmb{\Sigma}\pmb{D}_\sigma^{-1} \\\pmb{\Sigma}=\pmb{D}_\sigma\pmb{P}_\rho\pmb{D}_\sigma

1.2.4 分块随机向量

分块矩阵(向量)的结论,放到随机矩阵(向量)中,也make sense。

A simple example:

Suppose that the random vector \textbf{v} is partitioned into two subsets of variables, which we denote by \textbf{y} and \textbf{x} :

\textbf{v}=\left(\begin{matrix}\textbf{y}\\\textbf{x}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}{\rm y}_1\\\vdots\\{\rm y}_n\\{\rm x}_1\\\vdots\\{\rm x}_m\end{matrix}\right)

Thus there are n+m random variables in \textbf{v} .

\pmb{\mu}=\mathbb{E}(\textbf{v})=\mathbb{E}\left(\left(\begin{matrix}\textbf{y}\\\textbf{x}\end{matrix}\right)\right)=\left(\begin{matrix}\mathbb{E}(\textbf{y})\\\mathbb{E}(\textbf{x})\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\pmb{\mu}_{\rm y}\\\pmb{\mu}_{\rm x}\end{matrix}\right) \\ \pmb{\Sigma}={\rm cov}(\textbf{v})={\rm cov}\left(\left(\begin{matrix}\textbf{y}\\\textbf{x}\end{matrix}\right)\right)=\left(\begin{matrix}\pmb{\Sigma}_{\rm yy}&\pmb{\Sigma}_{\rm yx}\\\pmb{\Sigma}_{\rm xy}&\pmb{\Sigma}_{\rm xx}\end{matrix}\right)

由协方差性质可知, \pmb{\Sigma}_{\rm xy}=\pmb{\Sigma}_{\rm yx}^T

由分块矩阵的性质也可知:

\pmb{\Sigma}_{\rm yx}={\rm cov}(\textbf{y},\textbf{x})=\mathbb{E}((\textbf{y}-\pmb{\mu}_{\rm y})(\textbf{x}-\pmb{\mu}_{\rm x})^T)

1.2.5 随机向量的线性函数

我们时常需要考虑一些随机变量的线性组合构成的新的随机变量,为了方便,引入其向量表示。

{\rm z}=a_1{\rm y_1}+a_2{\rm y_2}+\cdots+a_n{\rm y_n}=\pmb{a}^T\textbf{y}

当我们拥有一系列(k组)关于随机变量y的线性组合时,

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} {\rm z}_1=a_{11}{\rm y_1}+a_{12}{\rm y_2}+\cdots+a_{1n}{\rm y_n}=\pmb{a}_1^T\textbf{y} \\{\rm z}_2=a_{21}{\rm y_1}+a_{22}{\rm y_2}+\cdots+a_{2n}{\rm y_n}=\pmb{a}_2^T\textbf{y} \\\vdots \\{\rm z}_k=a_{k1}{\rm y_1}+a_{k2}{\rm y_2}+\cdots+a_{kn}{\rm y_n}=\pmb{a}_k^T\textbf{y} \end{array} \right. \end{equation}

其中, \pmb{a}_i^T=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),\textbf{y}=({\rm y}_1,{\rm y}_2,\cdots,{\rm y}_n)^T

就能得到一个k维随机向量 \textbf{z}=\textbf{Ay}

其中, \textbf{z}=\left(\begin{matrix}{\rm z}_1\\{\rm z}_2\\\vdots\\{\rm z}_k\end{matrix}\right),\textbf{A}=\left(\begin{matrix}\pmb{a}_1^T\\\pmb{a}_2^T\\\vdots\\\pmb{a}_k^T\end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n} \\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots&\vdots &\ddots&\vdots\\a_{k1}&a_{k2}&\cdots &a_{kn}\end{matrix}\right)

由随机变量的期望、方差、协方差性质,很容易推广到随机向量的同类性质。

\mathbb{E}(\textbf{Ay}+\pmb{b})=\textbf{A}\mathbb{E}(\textbf{y})+\pmb{b} \\{\rm cov}(\textbf{z})={\rm cov}(\textbf{Ay})=\textbf{A}\pmb{\Sigma}\textbf{A}^T \\{\rm cov}(\textbf{z},\textbf{w})={\rm cov}(\textbf{Ay},\textbf{By})=\textbf{A}\pmb{\Sigma}\textbf{B}^T \\{\rm cov}(\textbf{Ay}+\pmb{b})=\textbf{A}\pmb{\Sigma}\textbf{A}^T \\{\rm cov}(\textbf{Ay},\textbf{Bx})=\textbf{A}\pmb{\Sigma}_{\rm yx}\textbf{B}^T

最后一条性质,由分块矩阵的性质可证。

令 \textbf{v}=\left(\begin{matrix}\textbf{y}\\\textbf{x}\end{matrix}\right),\textbf{C}=\left(\begin{matrix}\textbf{A}&\textbf{0}\\\textbf{0}&\textbf{B}\end{matrix}\right) ,求 {\rm cov}(\textbf{Cv}) 即可。

2、分布理论

3、点估计

4、假设检验

5、区间估计

6、方差分析

6.1 One-way ANOVA

6.2 Two-way ANOVA

7、Linear Mixed Model

8、数据分析

标准
时变函数

时变函数 | MLE of a Linear Model Where the Error from Logistic Distribution

Consider a linear model 

Y=X\beta+\epsilon

where the error \epsilon is from Logistic Distribution with density f(x)=\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}

The log-likelihood function is

\ell (x) =\sum_{i=1}^n{(x_i\beta-y_i)}-2\sum_{i=1}^{n} {\ln (1+e^{x_i\beta-y_i})}

thus, \hat\beta_{MLE}=\arg\max_{\beta}\ell (x) =\arg\max_{\beta} \sum_{i=1}^n{(x_i\beta-y_i)}-2\sum_{i=1}^{n} {\ln (1+e^{x_i\beta-y_i})}

易知,这是个凹函数(二阶导恒小于0)。

对β求导,得到一阶条件:

\sum_{i=1}^n{x_i\frac{1-\exp{(x_i\beta-y_i)}}{1+\exp{(x_i\beta-y_i)}}}

是个p阶(\beta的阶数)超越方程,没有解析解。

但考虑和Lasso类似的想法,可以用于p>>n时的降维,具体降维规则我还在编。编好了大概可以先水一篇小paper?

而当p<n时,必有解。

标准